本文摘自笔记：http://ai-start.com/ml2014/html/week8.html
参考视频: 13 – 2 – K-Means Algorithm (13 min).mkv
K-均值是最普及的聚类算法，算法接受一个未标记的数据集，然后将数据聚类成不同的组。
1）算法的基本过程
K-均值是一个迭代算法，假设我们想要将数据聚类成n个组，其方法为:
- 首先选择 K 个随机的点，称为聚类中心（cluster centroids）
- 对于数据集中的每一个数据，按照距离 K 个中心点的距离，将其与距离最近的中心点关联起来，与同一个中心点关联的所有点聚成一类
- 计算每一个组的平均值
- 将该组所关联的中心点移动到平均值的位置
重复步骤2-4直至中心点不再变化
下面是一个聚类示例：
迭代 1 次
迭代 3 次
迭代 10 次
假设，用\mu^1, \mu^2, ..., \mu^k来表示聚类中心，用c^{(1)},c^{(2)}, ..., c^{(m)}来存储与第i个实例数据最近的聚类中心的索引
则 K-均值 算法的伪代码如下：
Repeat {
for i = 1 to m
c(i) := index (form 1 to K) of cluster centroid closest to x(i)
for k = 1 to K
μk := average (mean) of points assigned to cluster k
}算法分为两个步骤，第一个for循环是赋值步骤，即：对于每一个样例i，计算其应该属于的类。第二个for循环是聚类中心的移动，即：对于每一个类k，重新计算该类的质心。
K-均值算法也可以很便利地用于将数据分为许多不同组，即使在没有非常明显区分的组群的情况下也可以。下图所示的数据集包含身高和体重两项特征构成的，利用K-均值算法将数据分为三类，用于帮助确定将要生产的T-恤衫的三种尺寸。
2）算法的优化目标
参考视频: 13 – 3 – Optimization Objective (7 min).mkv
K-均值最小化问题，是要最小化所有的数据点与其所关联的聚类中心点之间的距离之和，因此 K-均值的代价函数（又称畸变函数 Distortion function）为：
J(c^{(1)}, ..., c^{(m)},\mu^1, ..., \mu^k) = \frac {1} {m} \sum\limits_{i=1}^{m} || x^{(i)} - \mu_{c^{(i)}} ||^2其中\mu_{c^{(i)}} 代表与 x^{(i)} 最近的聚类中心点。 我们的的优化目标便是找出使得代价函数 J 最小的所有 c 和 u 参数
回顾刚才给出的: K-均值迭代算法，我们知道，第一个循环是用于减小c^{(i)}引起的代价，而第二个循环则是用于减小\mu^{(i)}引起的代价。迭代的过程一定会是每一次迭代都在减小代价函数，不然便是出现了错误。
3）随机初始化
参考视频: 13 – 4 – Random Initialization (8 min).mkv
在运行K-均值算法的之前，我们首先要随机初始化所有的聚类中心点，下面介绍怎样做：
- 我们应该选择 K < m 即聚类中心点的个数要小于所有训练集实例的数量
- 随机选择个 K 训练实例，然后令 K 个聚类中心分别与这 K 个训练实例相等
K-均值的一个问题在于，它有可能会停留在一个局部最小值处，而这取决于初始化的情况。
为了解决这个问题，我们通常需要多次运行K-均值算法，每一次都重新进行随机初始化，最后再比较多次运行K-均值的结果，选择代价函数最小的结果。这种方法在较小的时候（2–10）还是可行的，但是如果较大，这么做也可能不会有明显地改善。
4）选择聚类数
参考视频: 13 – 5 – Choosing the Number of Clusters (8 min).mkv
没有所谓最好的选择聚类数的方法，通常是需要根据不同的问题，人工进行选择的。选择的时候思考我们运用K-均值算法聚类的动机是什么，然后选择能最好服务于该目的标聚类数。
当人们在讨论，选择聚类数目的方法时，有一个可能会谈及的方法叫作“肘部法则”。关于“肘部法则”，我们所需要做的是改变 K 值，也就是聚类类别数目的总数。我们用一个聚类来运行K均值聚类方法。这就意味着，所有的数据都会分到一个聚类里，然后计算成本函数或者计算畸变函数 J。K 代表聚类数字。
我们可能会得到一条类似于这样的曲线。像一个人的肘部。这就是“肘部法则”所做的，让我们来看这样一个图，看起来就好像有一个很清楚的肘在那儿。好像人的手臂，如果你伸出你的胳膊，那么这就是你的肩关节、肘关节、手。这就是“肘部法则”。你会发现这种模式，它的畸变值会迅速下降，从1到2，从2到3之后，你会在3的时候达到一个肘点。在此之后，畸变值就下降的非常慢，看起来就像使用3个聚类来进行聚类是正确的，这是因为那个点是曲线的肘点，畸变值下降得很快，K = 3 之后就下降得很慢，那么我们就选 K = 3。
当你应用“肘部法则”的时候，如果你得到了一个像上面这样的图，那么这将是一种用来选择聚类个数的合理方法。
例如，我们的 T-恤制造例子中，我们要将用户按照身材聚类，我们可以分成3个尺寸: S，L，M，也可以分成5个尺寸 XS，S，M，L，XL，这样的选择是建立在回答“聚类后我们制造的T-恤是否能较好地适合我们的客户”这个问题的基础上作出的。